詰まった!!
僕の窮屈な頭蓋骨の中身。
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コラッツ予想と原子番号
コラッツ予想とは・・・

偶数のときは÷2、奇数のときは×3+1をする。
これを繰り返すと、どの数字からはじめても1に到達するという単純な予想。
たとえば3、
3→10→5→16→8→4→2→1
たとえば7、
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

では、27をやってみてください。
いや、まあ27もできるんですけど、相当面倒くさい。

で、これはすべて1に収束するかもしれないのですが、
反例も証明も見つかっていない。
これを証明、もしくは反例を見つけちゃおうという作業を今やっています。

原子番号とは・・・

つまり、原子表を覚えちゃおうと、ランタノイドとアクチノイドも含めて。

いや、最近記憶力の低下が激しいんで、取り戻そうかと。
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コメント
この記事へのコメント
反例はナイト
こんばんは

コラッツの問題についていろいろと考えて来た者の一人です。

反例は
① 1→4→2→1以外のループが存在する。

② 無限に大きくなっていくような始まりの数が存在する。

③ ループにもならず無限に大きくなったりもせず、1にならない数の列がある。

③はいろいろなサイトで言われているため、割愛します。
①も1→4→2→1以外のループしかないと証明した人がいたのであまり深くはつっこまないようにします。
(1以外は3をかけて1を足して2で割り切れなくなるまで割ると必ず元の奇数より大きくなるか小さくなるからです。)

②の問題は手ごわいですよ。そして、有限な数と無限大との差が実感できて怖いですよ。(怪談話にどうぞ)

まず、元の数より大きくなる数は4を法として3と合同である。
この数は8を法としたらどうなるか、16を法としたらどうなるか、32,64,128、・・・2^nを法としたらどうなるか。
とにかく4を法として3と合同な数は少なくとも2^nを法として2^n-1と合同であるのです。

この数は2^n×(even+1)-1と最終的に変形されます。

そしてこれに3をかけて1を足し、それを2で割ってみてください。あら不思議、n冪が1減るじゃないですか。
やってみてください。

ここでnには何が入るか、自然数です。無限大ではありません。

n=2^9999とし2^n×(even+1)-1を計算、それをn1としてまた2^n1×(even+1)-1を計算、この計算を9999回繰り返しても無限大には程遠いのです。

しかも2^n×(even+1)-1のevenは当然偶数ですが、偶数は自然数と同じ数だけあるので、先ほど書いた9999の数も自然数と同じ数だけ、つまり無数にあるのです。

無数にあるものひとつが有限の大きさを持ち、しかもn-1回だけ元の奇数より大きくなり、次は元の奇数より必ず小さくなる。

nに無限大を入れたいけど、それでは計算できなくなる。nが有限の大きさであれば、無限に大きくなることはない。怖い話だと思いませんか。
2012/07/27 (金) 19:45:51 | URL | tocshii #-[ 編集]
そもそもが、自然数の話なので、無限大を考えるのは少し外れているかな、と思います。(無限大は和も積も出来ないからです。超限順序数なら出来ますが、mod計算が出来ないのは致命的だと考えます)
③のパターンは厄介だと考えていましたが、既に証明されていれば楽になるのですが・・・。
(たとえ元の数より大きくなるか小さくなるかだとしても、それが何ステップも繰り返されたときに本当に戻らないのか?証明は容易ではないと思います)
②のパターンですが、少なくとも、*3+1のステップと*1/2のステップを1回ずつ繰り返しながら増えていく数が無いのはあきらかです(あなたのコメントからも自明ですね)

反例がもしあったとしたなら、おそらくその数は表記できるかどうか分からない程膨大な数になると思いますので、コラッツ予想は正しいと信じて証明するしかないと思いますが、
ステップの数を十分に大きくすれば全ての自然数を作れることを証明するか、
コラッツ予想の反例の集合を研究して背理法に持ち込むか、
まったく新しい概念を取り込むか、
だと思っています。
2012/07/27 (金) 23:58:26 | URL | えのき #-[ 編集]
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